那些被誤會的笨小孩

讀統計時，結識了一位哥大心理系博士，研究方向是幼兒的數感。我對這個課題既好奇又費解，數感要如何研究呢。她講了一個具體的發現，至今讓我記憶猶新。

“你知道嗎，美國小孩在學習數學方面有天然的障礙。他們所面臨的第一道門檻是計數。對，就是one、two、three這樣。”看我不解的樣子，她補充道：“記十以內的數字固然無妨，但關鍵在於eleven和twelve——一些孩子會困惑於這兩個數字的不規則性：為什麼不是ten-one, ten-two,就像twenty one，twenty two一樣？”

這倒是，不論是和thirteen、fourteen，還是twenty one，twenty two相比，eleven和twelve這兩個單詞都太不規則了。當然我也明白，這實際上體現了英文中十二進制的殘餘。 （由於12具有較多的約數，因此以12為進制單位，相比於10進制，會為古人在丈量土地、計算利息、分割財產等實際行為帶來便利。這也是古代各民族多采用12進制、24進制、以及60進制的原因）然而自然語言中存在古代進制的殘餘，這完全由歷史積澱所致，對小孩來說自然無從推理。

朋友繼而說到：“對於這些孩子，除了暫時放下這個念頭外別無他法。如果始終糾結於eleven和twelve這兩個單詞……”

“那會怎樣?”

“那就一輩子與數學無緣了。”

我的心沉了下去，因為這些終身進不了數學大門的孩子，其實要比大部分小孩聰明。至少，他們對於形式邏輯更為敏感。只是因為其邏輯直觀的敏感性，超越了其語言表述的能力以及對進制知識的積累。他們既不知如何向大人表述自己的困惑，也難以理解自然語言為何有這些不規則的殘餘。如果大人也不明白其中道理而將孩子視為愚笨的話，未免太可惜了——但據朋友觀察，這卻是常態。

如果說這個“eleven困境”還屬於天災，畢竟自然語言經年累月地演變，難免存在一些內在矛盾；那麼第二個故事則更像是人禍。

去年認識一位讀羅馬史的本科生。英文很好，收費幫美國人改作文那種。聽說我之前讀數學，有點氣餒地說自己數學不好，還問我要怎麼跟理科女友解釋讀歷史的用處。我起初一笑置之，後來隱隱覺得奇怪，因為他無論是玩桌遊時的思路，還是行文的邏輯，都還算不錯——怎麼也不至於連美國的高中數學都學不懂吧。

後來有次在健身房，他又聊到了自己數學很差。我說估計是你沒遇到好老師。或許受在我鼓舞之下，他鼓起勇氣和我說他在初中時，關於數學最大的困惑就是負數，他明白負數加負數等於負數，但“為什麼負負得正呢？我到現在還不明白。”

他剛說完，一同健身的一位機械系本科生先是錯愕，然後以打量傻子的眼光和口吻嘲弄到：“我去，這麼簡單的負負得正你還不懂啊？！”

我心裡想，本校機械專排雖高，學生的數學素養也不過如此啊。

這位歷史本科生關於“負負得正”的困惑，恰好說明了他的邏輯直觀並不差，甚至很不錯：因為負負得正這個大部分人在初中甚至小學就司空見慣的概念，實際上遠比看起來複雜得多。簡單來說，所有我們中學學習的證明“負負得正”的方法，都是錯的（即便印在教材裡）。負負得正，本質上由人為定義而來，無法從正數的乘除法中嚴格證明出來（中學的偽證大都是循環論證）。在此我僅引用Felix Klein在《高觀點下的初等數學》中的相關評述：

如果我們現在帶著批判的眼光去看中學裡負數的教法，常常可以發現一個錯誤，就是像老一代數學家如上指出的那樣，努力去證明記號法則的邏輯必要性。它們從(ab)×(cd)的公式導出(-b)×(-d)=bd，以為就得到了證明，完全忽略了這個公式之所以成立取決於不等式a>b，c>d。因此，證明是虛假的，本來可以根據心理學的考慮通過承襲性的原則而得出法則，現在卻讓位於一種偽邏輯的考慮。學生第一次聽到這樣邏輯證明時，當然是聽不懂的，而最終只好相信。

由此可知，不理解負負得正是在正常不過的了，畢竟其證明的本質是偽邏輯。反而，對“負負得正”提出質疑的學生其實具有極高的邏輯洞察力，甚至比困惑於eleven的美國孩童猶有過之，畢竟“負負得正”的謬誤要比“eleven困境”更為抽象。 Klein的結論是“學生聽不懂，只好相信”，大部分學生確實如此。然而這位本科生，聽不懂之後，寧可接受“自己數學很差”，也不說服自己認同這一證明，恰恰說明了他對於形式邏輯的嚴格性有很好的直覺，這正是數學天賦的體現。可惜他的問題在中學不僅被同學嘲弄，也被老師視為荒唐，最終畏數學如虎。

其實越是自小對“負負得正”的偽邏輯習以為常的成人，越難以察覺其中不嚴格的地方。換句話說，當一個孩子困惑於一個“很傻”的問題時，也許恰恰是因為他太聰明了，洞察到的矛盾既超出了自己語言表達的能力，又超出了教材與教師所預設的知識框架。這樣的孩子或許並不算多，但每一個這樣的個體，無疑都是非常可惜的。

當然，要求中學老師普遍具有高等數學的觀點並不現實，也不夠必要。不過，倘若老師具有這樣的素養，無疑錯過人才的機率會大為降低。這或許也從反面佐證了，蘇聯數學人才輩出的一大奧秘：蘇聯科學院每年組織數學院士到中小學夏令營，給學生傳授“高視野”下的初等數學。

最近和朋友聊起上面兩則故事。他說，其實世上沒有那麼多故事，都是錢的故事。我理解他的看法，錢可以買來好的師資與教育，很多困惑也就不復存在。從個人的角度，或許有人可以說“能用錢解決的問題都不是問題”；不過從社會的角度，“用錢解決的問題恰恰是最大的問題”——因為個人的財富可以跨越階級地急劇增長，社會的總體財富卻不會。

可以想見，這樣的笨小孩們，以後還會存在。但笨小孩的名字，畢竟是大人取的。雖然不能苛求大人們具有上述的數學素養，不過倘若他們在面臨孩子的困惑時，保持一份傾聽的耐心，知道有些問題也許超出了自己的理解範疇、自己也未必具有評判愚笨的資質，那也就不負筆者行文的初衷了。