天才与赌博机的必胜策略

S君是我的小学同学，高中时曾入选上海计算机竞赛的市队。我们同时对文史及数学感兴趣，但是侧重不同；他对于数理逻辑方面的问题非常敏感，常常让我获益匪浅。

昨天我和他聊起了赌球公司制定赔率的问题，我的想法是赌博公司本身并不把重心放在预测球赛走向上，事实上他们只关心买家的下注比例，而赔率正是这样一个与赌家下注比例自适应的权重。换而言之，赔率是下注比的一个函数，如果我们可以从赔率逆求出庄家手中的下注比，那么我们也可以模拟庄家的策略下注，在宏观大量下注的前提下获得稳定收益。

S君对我的想法持悲观态度，他说在生活中的博弈上，数学只是很小的一个部分。庄家完全可以用很简单的规则保证固定的收益，从数学上入手希望很小。（后来讨论的结果是，考虑到庄家还有5-15%的抽税，我的策略显然是不可行的。）唯有找到数学之外，连庄家也未曾意识到的“潜规则”，再结合严格的数学推倒，才有获胜的可能。

他讲了自己利用逻辑从赌博机中赚钱的故事，让我瞠目结舌，也促成了这篇文章。

那时还是初中，我在田林三中，他在西南位育——二者中间夹着一个田林电影院，学校也经常组织班级去看电影。电影院顶楼是一层游戏机房，我虽然只去过一次，但是已经提起还是能想起来。

S君和我不同，是一个喜欢电玩的人，家里堆满了游戏光盘，也经常去那个游戏机房玩。他很快发现了一台赌博机有利可图。

那是一个怎么看都很“公平”的游戏：一个简单的机械装置，有两个投币口，分别代表黑色与白色。玩家则把相应押注的游戏币投进去（游戏币与一元现金等值）。等到所有玩家投币结束，机器开始运转，并随机从黑白两个小孔中掉出一个球来。输家清空，赢家有一倍奖金。

S君讲到这里，我意识到这个赌局等于说老板为一个各占1/2的互斥事件都开了1的赔率。这种模型下，无论玩家采用怎样的混合策略，期望收益始终为零。

我没想出怎样获胜，我也不认为有可能获胜。

S君接着说，他的策略很简单。即一次选定一种颜色，如黑色。则第一次赌一块钱在黑色；如果输了，第二次压两块钱继续黑色；如果再输，第三次四块钱黑色……如此往复。如果n轮不赢，就在第n+1轮压2的n方于黑色。如果一旦赢了就收手开始下一次一元、两元、四元的新循环。

这种方法的好处是，无论前面亏了多少钱，只要接下来赢一次，就能扭亏为盈，净赚一元，而n次连续失败的概率非常小，仅为1/(2^n)。

当然了，这种方法不足以唬到我。当我之前说任何混和策略期望都为零的时候自然也把这种策略包括在内。

这种策略看起来失手的概率很小，为什么期望还是零呢？很简单，因为他的赌注太大了，假设前7次都输了，那么第八次就不得不压上256元才有可能翻本。但是第八次再输，就累计亏损511元，我不认为身为初中生的S还有资本继续赌下去。换句话说，失败的概率虽小，但每次出现七八次不中的小概率事件时损失也是致命的，足以让他几周之内都没钱继续游戏。再者，这个策略每一个成功的循环只能收益1元，要想获得稳定收益，必须大量重复。以每次循环两次估计，要想赚到20块钱就需要玩40把。四十已经超过了2的五次方32，也就是说，想用这个策略赚20块就几乎肯定会遭遇连续五次白色，以至于亏掉32元。这显然是非常不理智的。

老实说，我非常怀疑这个策略的可行性。

然而事实上，S君确实采用这个策略，每次在游戏机房里赚到20-30个币之后，接着去玩其他游戏逍遥一下午。我并非只是完全相信他的一面之词，而是他后来的分析使我不得不相信这种策略确实是行之有效的，因为我之前的分析犯了致命的错误。

“你的致命错误在于……你相信这是一个完全公平的博弈。”

“什么意思？”

S君笑着说，“你的分析从数学角度无懈可击。可是别忘了，你的结论是玩家期望为零，换句话说，庄家的期望也是零。可是庄家的收益真的是零吗，如果是零，他买这个机器教这份租金岂不是亏了？”

事实上S君的想法我也想过，庄家一定会赚钱。唯一的方法就是庄家在操纵小球。做个极端的假设，假如有人赌一万在白色，那么他能获胜的概率就非常小了，庄家不会坐视几周的流水付之东流。虽然不会有人在游戏机房赌上一万，但是据S说，一次赌上200-300的成年土豪并不少见。

对庄家来说，最贪心的情况莫过于每次都操控小球落在投注较小的颜色上，这样每次都赚。但这样显然不是常态，如果太明显而被玩家意识到，那就无法愉快的玩耍了。

庄家应该有赢有输，总体上维持一个适当的小收益，比如每十局10%，虽然不大但是比起什么金融理财产品还是堪称暴利了。

我有些疑惑：“那么对玩家来说，应该每次都站在少数一方，那也不是你这个策略呀。”

S接着说，这个机器设置是每个玩家走上前投币的。不与玩家交流的话，基本上看不到其他玩家把币投到了那个地方，而每次都与其他玩家交流再做决策又是不可能的。

我：“所以“少数获胜”这个“潜规则”并没有实际意义？”

S：“不能这么孤立地看——其实当你意识到这个博弈存在‘潜规则’的时候，就已经比之前前进很多了。我们接下来思考其他的、足以利用的潜规则。”

我：“还有其他的吗，我觉得少数获胜已经足以让老板赚钱了。”

S：“老板事先已经承担了机器以及场地的成本，也就是说，他在这次博弈中是负债的。他不仅不能亏欠，还必须要赚钱。而赚钱有两个必要条件，一个是不能让某人一次赚走巨款，这就是所谓少数获胜，但另一个重要的条件是——在稳定收益的前提下吸引尽可能多的玩家。”

我：“从赌徒的心里来说，这场博弈不用交税，胜负看起来各半，其实已经非常诱人了。”

S：“但是不具备数学思维的其他玩家并不这么看。我们回到一开始你质疑我的问题，你说我的策略虽然失败的概率不大，但是一旦失败就会损失惨重是吧？”

我：“对啊，虽然失败的概率只有1/(2^n)，但是一旦失败就会亏损2^n左右——总体期望始终为零。”

S：“你不妨仔细想想我可能失败的情况。我手里一般有300元左右，足以从压1块开始支撑我到压128元，也就是玩8次。我失败的唯一可能是，连续八次都是白色，那我就完了。”

我：“虽然可能性很小，但是确实存在……而且损失很大……”

S：“你错了，这种概率只存在于数学之中。实际上绝无可能——老板不允许这种情况出现。试想在游戏中，一旦出现八次同一颜色，对于我来说，固然可以接受，因为我玩过上千次了，八次白色的概率是1/128，总会遇到的。但是对于其他偶尔只玩过一次的玩家，他们会怎么想，是愿意接受自己就是撞到了1/128的运气，还是开始质疑庄家？何况这游戏庄家本来就在操控。”

想要让玩家不质疑游戏被操控，不是真的不操控，而是只要让他们不感觉到被操控。

基于这样的原则，即便是正常分布下的小概率事件也必须拿掉，因为他们会引来质疑。反而温水煮青蛙式的偶尔操纵几盘少数获胜，因为庄家事先也不知道白色与黑色那个是少数，所以从结果上来看，并不会破坏黑白色的平均分布。

所以庄家并不顾忌让少数获胜，因为这种诡计并不打破直观上黑白的平衡。但绝对不允许存在的是“连续多次出现同一种颜色”，虽然在大量游戏中理应出现这种小概率事件。

它们是数学中的小概率事件，却在现实中被修正为零概率事件。

讲到这里我才完全明白了S真正敏锐的地方，也明白为何这么一个简单的策略可以在这样一个“公平”的博弈中始终获胜了。

后来S又补充说，他认为老板刻意控制10%的收益太麻烦了，毕竟老板还要照顾其他游戏和玩家。所以更接近事实的推测是，这个机器本身自带了一种随机分布。在这种分布下，老板确实收益和玩家整体一样，都是零。而老板只要每天抽一段时间，操纵几次游戏，使得这几次游戏中老板始终赚到足够钱，其他时间就让机器自动运转。这样除非出现有人压一万这种情况老板如临大敌以外，这个公平的机器就是一个聚宝盆了。

而S的策略不仅对贪心的老板有效，对看似公平的机器同样也试用。道理很简单，那是一个十几年前的机器，里面固然有电子成分，但更多的还是一个简单的机械装置。其实包括电脑在内，任何人造机器都无法真正地表示出“随机性”，任何程序中的随机数本质上都是一种复杂运算下的伪随机。当然，由于电脑的计算能力非常强大，它产生的随机性非常强，可以模拟数百万种情况。

但对于简单的机械，模拟数十种情况就需要很大的成本，并且毫无必要——假设这台机器只预存了黑黑黑、黑黑白、黑白白……白白白等四次博弈的全部分布，也就是2^4=8种情况，这对于偶尔玩之的玩家来说已经足够随机与公平了——除了S。

对S而言，如果机器只预存了这8种情况并且反复调用，那么他的策略只要准备6次赌博（在此种设定下，连续出现单色的最高次数为5次，例如黑黑黑+黑黑白）所必须的1+2+4+8+16+32=63元就可以始终获胜了。

事实上，S在第一次就提钱买好几十个币。每一次以这些币为资本，赚到额外的20-30个币之后，去玩真正想玩的游戏。据他说，一般准备三四十个币就够了。也就是说机器预存的情况甚至小于我们的推测。

到这时候，我才发现我与S的思维差距有多么大，我的所有判断都基于数学，而这部分在之前两三百字就解决的“无懈可击”，可是后面的数千字才是S所真正思考的领域。

S说有时候有急事或者其他原因，他来不及把赚的游戏币花光就要回家了。他很少会找老板把剩余的币换成钱（原则上可以）。但是考虑到他要重复使用这个策略，那么事实上就不可以贪图小利而让老板起疑——他会选择一个数学上明显会输的游戏把币迅速输光。当然了，偶尔也会小赚一点——一直到初三那家店忽然倒闭，扣去手上的30多个游戏币，也赚了几十块钱，毕竟主要还是为了开心，不是靠这个发财。

这就是S的故事。

我最大的震撼在于他不仅理性，也善于从感性的角度分析庄家及其他玩家的策略，并将理性思维运用到感性得到的“潜规则”中。使一个50%的博弈变成了100%的收益。

而现实中的博弈，正是这么一个智商与情商并重的领域。或者说，对S这种情商缜密的人，关于数学规则的计算简直是太简单了。

其实，这篇文章刚好可以反驳所谓“智商高的人为何不能统治世界？”

智商总是遵循逻辑。逻辑像光一样，走最高效，最短的路径。可是生活中的道路并非真空，可能有这样那样的“潜规则”，形成了道路上的障碍。这种情况下，一味走直线反而会摔跤或陷入沼泽，用敏锐的感性嗅觉规避甚至利用这些“潜规则”，才能规划出最优路线。

毕竟以更高的数学视野来看，直线不过是曲线的一种，最初等的一种。

而在社会这个比数学复杂的多的环境中，理性不过是感性的一种，最初等的一种。

任何玩家都必须拥有基本的理性素养，但这远远不够，因为分高下的场合不在于此。

理性之上，情商为王。

原文写于五年前，引发了不少有趣的讨论。北斗的编辑说，很喜欢这篇综合了解密与博弈的小说，不知道这个系列什么时候更新。我说，我也想，可这真的不是小说。

S君在此处采用的倍投法，与博弈论中的“圣彼得堡问题”异曲同工。许多读者，似乎都把本文误会成了鼓吹“倍投法”的文章，所以说“下次我去赌场也这么试试”，或者“倍投法早就被证明行不通了”。在现代的正规赌场，倍投自然是无效的，这也就是文中我下意识地判断这个策略期望为零的原因。然而，S君的敏锐在于，他判断出了那个游戏机房充斥着各种背离了公平博弈的限制条件（规则不抽水必然有猫腻、老板为避免质疑故意消除小概率事件、机械式装置的伪随机缺陷）倍投法的死穴在于小概率事件必然发生，然而老板人为操纵了这一概率，使其摇身一变，成了严格优势策略。在初中就能洞悉形式规则背后的潜规则并加以严密计算，这种观察力让我心折不已。

现在回头看，本文的关键是想通这一点：“想要让玩家不质疑游戏被操控，不是真的不操控，而是只要让他们不感觉到被操控。”这其实和我在前几篇文章中谈到的思想史、社会史的研究转向有相通之处（从研究一个思想本身，转向研究该思想如何传播与被接受；从研究书籍的版本学到研究书籍的阅读史；从研究社会学理论，到研究该理论如何被实践）：要研究一种社会价值，除了谈论其价值的定义与学理外，更要讨论此价值是如何被实践与认知的。只谈理论上的“价值”（有些人谈的甚至也不是理论，只是望文生义），就会如文中的我一般，局限于理论的计算，错过真正精彩的博弈。

最后，S君也被我邀请到matters上了。