從SWAP Test 漫談量子資訊與量子機器學習

如何比較兩個量子態是否相同？

從資訊的角度來思考量子物理會發現很多有趣的現象（即使我們先撇開詮釋的部分）．首先我們知道量子力學世界裡，波動方程式要求資訊是守恆的、意思是所有連續平滑的物理系統演化都是可逆的Unitary operation（光是說到這就已經有霍金輻射引起的「黑洞資訊悖論」，幽微的問題非常多），如果有人能從宏觀掌握整個宇宙波函數，那未來和過去的可能性便盡收眼底．可惜這世界沒有這麼單純，麻煩的是我們實驗上總是沒有看到波函數疊加態（如電子被測量時不是自旋上就是自旋下），不論是哥本哈根詮釋的波函數「塌陷」還是多世界詮釋下的去相干，有個過程使得我們只能讀到波函數的本徵態．這意味著當我們要從波函數提取資訊時就會摧毀它（至少在局部的觀點上），當然透過類似「量子擦除實驗」的例子我們可以透過放棄提取資訊重新看到干涉條紋（疊加態的特徵）．

既然在測量的過程中我們會摧毀量子態，那就透過反覆測量來獲得足夠資訊不就行了（從這之後假設我們知道怎麼做出特定量子態，因為「不可複製定理」禁止我們任意拷貝未知量子態），這當然是做得到但極不經濟，畢竟要透過實驗完整重建一個波函數（Quantum State Tomography）是非常困難的，因為其矩陣的大小是隨量子位元數目成指數增加（一個量子位元是2X2矩陣、十個量子位元就是1024X1024矩陣）．言歸正傳，即使完全重建量子態是困難的，不代表比較兩個量子態相同的程度會更加困難，透過SWAP test我們可以單純獲得兩個量子態有多相似而無需知道兩個量子態的細節（不需要整個量子態的資訊比較容易）．

如何在不知道量子態資訊的前提下比較兩個量子態是否相同呢？這是CWAP gate 產生的糾纏態提供巧妙資訊、我們無須測量這兩個任意維度的未知量子態來獲得其資訊，我們只需要測量額外的一顆ancilla qubit （輔助量子位元）就可以獲得有關兩個波函數重疊的資訊（注意，我們對於這兩個量子態的內容仍就一無所知）．用魔術箱子的方法來概括細節：想像有個(SWAP test)黑箱上面有指示燈（ancilla qubit ），如果我們丟進去兩個量子態完全一樣（完全overlap）那指示燈會就100%不會亮，如果完全不overlap（也就是說他們是正交向量）那就是50%會亮/50%不會亮，介於中間的狀態就是有

的機會指示燈不會發亮(x為相似程度)．所以假設我們擁有兩量子態要比較，那麼只要透過測量這個指示燈發光的比例我們就能知道其重疊的程度，其複雜度不會隨量子態為度上升而改變，需要的實驗數目是常數．

更準確的說，是SWAP test的結果會讓投入的量子態

，變成對稱的量子態

（同時ancilla qubit朝下 ）、與反對稱的量子態

（同時ancilla qubit朝上 ），SWAP test的奧秘就在於透過產生對稱與反對稱的糾纏量子態，使自然揭露兩組未知量子態的重合程度．這SWAP test measurement 給我帶來的震撼和思考非常類似quantum teleportation，我們不直接測量量子態但是可以旁敲側擊做一些有趣的事：前者是在不知道兩個量子態的情況下獲得其重疊的程度、後者則是在不知到個量子態的情況下將其資訊傳送到遠方．除了在基礎物理學上的意義之外SWAP test measurement還有什麼用途嗎？答案當然是有的，就在量子機器學習QML中．在量子機器學習中我們會需要比較某個新的向量（資料點）是和之前的A向量群集比較接近還是和之前的B向量群集比較接近，也就是比較向量距離（vector distance），比較向量距離是QSVM 演算法的核心．SWAP test 是我們邁向QSVM的重要步驟（就是classification），讓我們在比較向量距離時大幅低複雜度達到指數加速！！！

本篇是我PhD正在進行的實驗背後之理論架構．寫這篇文章紀念是為了Dzmitry組上Jaren學長博士答辯成功升級成Dr.Jaren，感謝聰明的老闆想出這麼有趣非主流的研究方向，以及已經將其實作出指引我方向的學長：）

原文連結凝視奇點的物理學徒