为什么1 > 0
为什么一大于零?
小孩子会说:因为给1块钱的红包也比不给红包要好。
初中生会说:因为1比0更靠近数轴的右边。
房奴会说:因为有1套房子就可以鄙视买不起房的人。
中学老师会说:你是不是脑子有毛病问这种问题,黄冈数学密卷做完了吗。
领导会说:你等我之后问一下我的秘书。
艺术家会说:其实在很多时候0 > 1。
理工科学生会说:这不过就是一种定义,自然数是有序集,排在后面的就是用>号。
而当你觉得一句话说不完,可以写一篇文章来论述的时候,你可能已经开始走上数学家的道路。
1 数与抽象
关于数字系统的由来,普遍观点是数字是对现实世界的一种抽象。
一颗星星,一支笔,一根烟,一段恋爱,一篇文章,我们提取这些事物在数量上的共性,并且做出规定:这就是1。
就像完美的圆一样,1这个抽象的符号在现实中并不存在,它只属于柏拉图的理想世界。而我们受限于自己的感官,只能利用理性去窥探1在现实生活中的投射倒影,利用各种具体事例来推测和规范它的性质。
0和>这两个符号也是一样。
我们用0来表示虚无:我账户里有0元钱 = 我账户没有钱;我有0个女朋友 = 我单身;我的数学知识为0 = 我没有数学知识。我们把一种不存在和虚无的概念抽象出来,用数学符号0来表示。
大于号>则被用来表示一种次序关系。
比如“金牌 > 银牌 > 铜牌“,这里的>表示在一项体育竞争中的次序。
”两辆车 > 一辆车“,”两套房 > 一套房“,>代表的是一种数量上的次序。
“厅长 > 处长 > 科长 > 临时工",>表示的是官僚级别的次序。
“五官好 > 腿长 > 性格好 > 家境 > 学历“可以表示在择偶选择上的一种次序。
数字和次序在我们的生活中无处不在,我们把它们抽象为数学系统进行研究的原因似乎是如此显然。当我们把1 > 0和生活中的问题进行对应,问题的结果似乎是不言而喻。似乎讨论到这里,我们就已经回答了这个问题。
但是“为什么1 > 0”真的就如此简单吗?
2 “被发现”的数学和“被发明”的数学
上一节里讲到的数学是属于“被发现“的数学,是我们从生活中总结而来的。这种对数学的描述属于直觉主义(intuitionism)的一种看法。
但是现代数学的根基是建立在逻辑主义(logicism)上。逻辑主义的特征就是公理化结构(axiom structure)加上三段论(term logic)的推演。我们设定了一个游戏规则,然后看看这个游戏规则之下能够玩出哪些花样,就像围棋和象棋。
如果说直觉主义的数学属于“被发现“的数学,那么逻辑主义的数学就是”被发明“的数学。
直觉主义的数学有很多优势,但同时也存在一些严重的缺陷。第一就是如果别人的直觉和你不一样时,你会缺乏合适的工具去说服别人。第二就是这种数学往往会停留在相对浅层次的结构,而无法探索更深层次的规律。
而逻辑主义很好地利用公理体系填补了这些空缺。我们只需要有一点点共识,并且遵守基本逻辑,那么再复杂的问题,我们也能一步一步地达成全部的共识,发现更深刻的观点。
公理体系是逻辑主义的基石,它就像一块一块的砖,一个好的体系能让我们用这些砖盖出各式各样精妙的房子。这个房子最好不要有漏洞(自洽性)。并且对于各种房子,我们都知道哪些能被盖出来,哪些不能(完备性)。最好盖出来的房子还挺有用,能住人(否则我们的公理系统就变成单纯的逻辑游戏了)。构建一组优雅简洁的公理是数学家们的基本追求。
下面我们看一下在逻辑主义的观点下,是如何证明 1 > 0 的。
2.1 数,存在的符号
数(number)的定义方式有很多种,但这不是本文的重点。
在这里我们只需要假设数是存在的就足够了。并且我们可以把这些数放在一起,形成一个集合(set)。你可以理解为一个水果篮里有很多苹果,集合就是这个水果篮,一个数就是一个苹果。
在这里,我们假设数和集合是存在的。
2.2 域, 第一个数学游戏
已知存在一个集合,里面包含着数。那么我们可以定义一些数之间的运算和规则来创造一个游戏。域(field)就是这么一个游戏,它基于集合,这个集合有两种操作,每个操作都有其特定的规则。
以下部分是域的数学定义:
一个域是一个集合E,这个集合具有两种运算:加法(+)和乘法(·)。这个集合与其对应的两种运算符合以下三组公理:
A 加法公理
A1 如果元素x属于集合E, 元素y也属于集合E,那么他们的和 x + y 也属于集合E。(加法的封闭性)
A2 加法是具有可交换性的:x + y = y + x, 对于所有的x,y属于集合E。(加法的交换律)
A3 加法是具有可结合性的:(x + y) + z = x + (y + z),对于所有的x,y,z属于集合E。(加法的结合律)
A4 集合E包含一个加法元,记号为0, 使得任何数与其相加都等于其自身:0 + x = x。
A5 对于每一个x,都存在他的逆加法元素,记号为-x,使得他们相加等于加法元。x + (-x) = 0。
B 乘法公理
B1 如果元素x属于集合E, 元素y也属于集合E,那么他们的积 x·y 也属于集合E。(乘法的封闭性)
B2 乘法是具有可交换性的:x·y = y·x, 对于所有的x,y属于集合E。(乘法的交换律)
B3 乘法是具有结合性的:(x·y) · z = x · (y·z),对于所有的x,y,z属于集合E。(乘法的结合律)
B4 集合E包含一个乘法元,记号为1, 使得任何数与其相乘都等于其自身:1·x = x。
B5 对于每一个x,除了加法元0,都存在他的逆乘法元素,记号为1/x,使得他们相乘等于乘法元。x · (1/x) = 1。
C 分配公理
x · (y + z) = x·y + x·z ,对于所有的x,y,z属于集合E。
加法公理和乘法公理是两套独立的操作,而分配公理是连接这两种操作的桥梁。
我们可以把一个人看成一个域:人首先有一个肉体(对应集合),在肉体之上我们有感性和理性(对应加法和乘法),然后通过思考(对应分配公理)来建立感性与理性的桥梁。
2.3 次序,数之间的关系
加法和乘法是数之间的两种外部操作运算,但是除了外部运算之外,我们还想定义数之间内在关系。这个关系我们称为数的次序(order)。
我们可以试着建立次序的公理系统:
- 对于一个集合中的两个元素x,y,要么 x > y,要么 x < y,要么 x = y。(可比较性)
- 这三种关系都具有传递性。例如,若 x > y,y > z,那么 x > z。对于符号<,=同理。(传递性)
我们把数量上的比较关系带入以上两条公理,会发现非常地符合我们的日常经验。比如苹果要么价格比梨高,要么价格比梨低,要么两者价格一样高;如果苹果比梨贵,梨比桃贵,那么苹果比桃贵等等。当然能带入的不只是数量上的比较关系,任何符合这些性质的现实模型我们都可以带入,从而用公理化的逻辑来进行推断。
2.4 有序域,由关系到一种结构
我们试着把次序和域结合起来,我们就能得到一个有序域。
i) 如果 y < z,那么 x + y < x + z。
ii) 如果 x > 0,y > 0,那么 x·y > 0。
现在,我们拥有足够的材料了。有了有序域这个工具,我们便能证明 1 > 0。
2.5 如何证明1>0
我们直接用已知的定义和公理以及三段论逻辑推演来证明:
- 首先证明如果 x > 0,那么 x·x = x² > 0。(定义平方运算为两个相同元素的相乘)
- 可以直接由(ii)得出.
- 其次证明 如果 x < 0,x² > 0。
- 如果 x < 0,那么 (-x) + x < -x + 0, 所以 (-x) > 0. 由1知 (-x)² > 0.
- 由1, 2 可知, 如果x不等于0, 那么 x² > 0。
- 由于1² = 1 而不等于0, 所以 1 > 0。
- 证毕。
证明结束了,但是读者可以思考一下,1是从何时起开始大于0的?是我们定义的哪种结构决定了这种关键性质?
3 数学与哲学
除了直觉主义和逻辑主义,对于数学的解释还有很多学派。柏拉图主义者(Platonist)认为在一个“理想王国”中,这些公理是具象存在的,而人类拥有超越五官的对这些公理的感知能力。而经验主义者们(empiricists)认为这些公理是对现实规律的抽象总结,公理依附于现实而存在,而不是另外一种具象的本质。当然对于两者关系的讨论已经开始脱离数学而走向形而上学(metaphysics)了,这个问题可能已经游走在人类的理性边界之外。当然,人类能否判断《一个问题是否超出了人类理性的边界》本身也是一个有趣的问题。换一句话说,《一个问题是否超出人类理性的边界之外》这个问题是否超出了人类理性的边界?有机会我们再聊这个话题。(你可能需要读一些维特根斯坦的著作)
关于数学还有很多问题。它的地基如此简单,为什么构建起的高楼却如此复杂?如果数学是由逻辑性的公理构造的话,为什么它与现实世界又如此的契合?数学是上帝的语言吗,它的永恒性来自于哪?
一代一代的数学家都在探索这些问题,这些探索让我们走出原始形态,帮助我们发展理性,给我们来带来了科学,带来了汽车,手机,计算机,摩天大厦和航空飞船。
“我们所做的事可能是渺小的,但它具有某些永恒的性质。” ---- G. H. Hardy
拓展阅读:
《Principles of mathematical analysis》 -- Rudin
《Mathematics: form and function》 -- Saunders Mac Lane
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