为什么1 > 0

为什么一大于零？

小孩子会说：因为给1块钱的红包也比不给红包要好。

初中生会说：因为1比0更靠近数轴的右边。

房奴会说：因为有1套房子就可以鄙视买不起房的人。

中学老师会说：你是不是脑子有毛病问这种问题，黄冈数学密卷做完了吗。

领导会说：你等我之后问一下我的秘书。

艺术家会说：其实在很多时候0 > 1。

理工科学生会说：这不过就是一种定义，自然数是有序集，排在后面的就是用＞号。

而当你觉得一句话说不完，可以写一篇文章来论述的时候，你可能已经开始走上数学家的道路。

1 数与抽象

关于数字系统的由来，普遍观点是数字是对现实世界的一种抽象。

一颗星星，一支笔，一根烟，一段恋爱，一篇文章，我们提取这些事物在数量上的共性，并且做出规定：这就是1。

就像完美的圆一样，1这个抽象的符号在现实中并不存在，它只属于柏拉图的理想世界。而我们受限于自己的感官，只能利用理性去窥探1在现实生活中的投射倒影，利用各种具体事例来推测和规范它的性质。

0和>这两个符号也是一样。

我们用0来表示虚无：我账户里有0元钱 = 我账户没有钱；我有0个女朋友 = 我单身；我的数学知识为0 = 我没有数学知识。我们把一种不存在和虚无的概念抽象出来，用数学符号0来表示。

大于号>则被用来表示一种次序关系。

比如“金牌 > 银牌 > 铜牌“，这里的>表示在一项体育竞争中的次序。

”两辆车 > 一辆车“，”两套房 > 一套房“，>代表的是一种数量上的次序。

“厅长 > 处长 > 科长 > 临时工"，>表示的是官僚级别的次序。

“五官好 > 腿长 > 性格好 > 家境 > 学历“可以表示在择偶选择上的一种次序。

数字和次序在我们的生活中无处不在，我们把它们抽象为数学系统进行研究的原因似乎是如此显然。当我们把1 > 0和生活中的问题进行对应，问题的结果似乎是不言而喻。似乎讨论到这里，我们就已经回答了这个问题。

但是“为什么1 > 0”真的就如此简单吗？

2 “被发现”的数学和“被发明”的数学

上一节里讲到的数学是属于“被发现“的数学，是我们从生活中总结而来的。这种对数学的描述属于直觉主义（intuitionism）的一种看法。

但是现代数学的根基是建立在逻辑主义（logicism）上。逻辑主义的特征就是公理化结构（axiom structure）加上三段论（term logic）的推演。我们设定了一个游戏规则，然后看看这个游戏规则之下能够玩出哪些花样，就像围棋和象棋。

如果说直觉主义的数学属于“被发现“的数学，那么逻辑主义的数学就是”被发明“的数学。

直觉主义的数学有很多优势，但同时也存在一些严重的缺陷。第一就是如果别人的直觉和你不一样时，你会缺乏合适的工具去说服别人。第二就是这种数学往往会停留在相对浅层次的结构，而无法探索更深层次的规律。

而逻辑主义很好地利用公理体系填补了这些空缺。我们只需要有一点点共识，并且遵守基本逻辑，那么再复杂的问题，我们也能一步一步地达成全部的共识，发现更深刻的观点。

公理体系是逻辑主义的基石，它就像一块一块的砖，一个好的体系能让我们用这些砖盖出各式各样精妙的房子。这个房子最好不要有漏洞（自洽性）。并且对于各种房子，我们都知道哪些能被盖出来，哪些不能（完备性）。最好盖出来的房子还挺有用，能住人（否则我们的公理系统就变成单纯的逻辑游戏了）。构建一组优雅简洁的公理是数学家们的基本追求。

下面我们看一下在逻辑主义的观点下，是如何证明 1 > 0 的。

2.1 数，存在的符号

数（number）的定义方式有很多种，但这不是本文的重点。

在这里我们只需要假设数是存在的就足够了。并且我们可以把这些数放在一起，形成一个集合（set）。你可以理解为一个水果篮里有很多苹果，集合就是这个水果篮，一个数就是一个苹果。

在这里，我们假设数和集合是存在的。

2.2 域， 第一个数学游戏

已知存在一个集合，里面包含着数。那么我们可以定义一些数之间的运算和规则来创造一个游戏。域（field）就是这么一个游戏，它基于集合，这个集合有两种操作，每个操作都有其特定的规则。

以下部分是域的数学定义：

一个域是一个集合E，这个集合具有两种运算：加法（+）和乘法（·）。这个集合与其对应的两种运算符合以下三组公理：

A 加法公理

A1 如果元素x属于集合E， 元素y也属于集合E，那么他们的和 x + y 也属于集合E。（加法的封闭性）

A2 加法是具有可交换性的：x + y = y + x, 对于所有的x，y属于集合E。（加法的交换律）

A3 加法是具有可结合性的：(x + y) + z = x + (y + z)，对于所有的x，y，z属于集合E。（加法的结合律）

A4 集合E包含一个加法元，记号为0， 使得任何数与其相加都等于其自身：0 + x = x。

A5 对于每一个x，都存在他的逆加法元素，记号为-x，使得他们相加等于加法元。x + (-x) = 0。

B 乘法公理

B1 如果元素x属于集合E， 元素y也属于集合E，那么他们的积 x·y 也属于集合E。（乘法的封闭性）

B2 乘法是具有可交换性的：x·y = y·x, 对于所有的x，y属于集合E。（乘法的交换律）

B3 乘法是具有结合性的：(x·y) · z = x · (y·z)，对于所有的x，y，z属于集合E。（乘法的结合律）

B4 集合E包含一个乘法元，记号为1， 使得任何数与其相乘都等于其自身：1·x = x。

B5 对于每一个x，除了加法元0，都存在他的逆乘法元素，记号为1/x，使得他们相乘等于乘法元。x · (1/x) = 1。

C 分配公理

x · (y + z) = x·y + x·z ，对于所有的x，y，z属于集合E。

加法公理和乘法公理是两套独立的操作，而分配公理是连接这两种操作的桥梁。

我们可以把一个人看成一个域：人首先有一个肉体（对应集合），在肉体之上我们有感性和理性（对应加法和乘法），然后通过思考（对应分配公理）来建立感性与理性的桥梁。

2.3 次序，数之间的关系

加法和乘法是数之间的两种外部操作运算，但是除了外部运算之外，我们还想定义数之间内在关系。这个关系我们称为数的次序（order）。

我们可以试着建立次序的公理系统：

• 对于一个集合中的两个元素x，y，要么 x > y，要么 x < y，要么 x = y。（可比较性）
• 这三种关系都具有传递性。例如，若 x > y，y > z，那么 x > z。对于符号<，=同理。（传递性）

我们把数量上的比较关系带入以上两条公理，会发现非常地符合我们的日常经验。比如苹果要么价格比梨高，要么价格比梨低，要么两者价格一样高；如果苹果比梨贵，梨比桃贵，那么苹果比桃贵等等。当然能带入的不只是数量上的比较关系，任何符合这些性质的现实模型我们都可以带入，从而用公理化的逻辑来进行推断。

2.4 有序域，由关系到一种结构

我们试着把次序和域结合起来，我们就能得到一个有序域。

i) 如果 y < z，那么 x + y < x + z。

ii) 如果 x > 0，y > 0，那么 x·y > 0。

现在，我们拥有足够的材料了。有了有序域这个工具，我们便能证明 1 > 0。

2.5 如何证明1>0

我们直接用已知的定义和公理以及三段论逻辑推演来证明：

1. 首先证明如果 x > 0，那么 x·x = x² > 0。（定义平方运算为两个相同元素的相乘）
2. 可以直接由(ii)得出.
3. 其次证明 如果 x < 0，x² > 0。
4. 如果 x < 0，那么 (-x) + x < -x + 0， 所以 (-x) > 0. 由1知 (-x)² > 0.
5. 由1， 2 可知， 如果x不等于0， 那么 x² > 0。
6. 由于1² = 1 而不等于0， 所以 1 > 0。
7. 证毕。

证明结束了，但是读者可以思考一下，1是从何时起开始大于0的？是我们定义的哪种结构决定了这种关键性质？

3 数学与哲学

除了直觉主义和逻辑主义，对于数学的解释还有很多学派。柏拉图主义者（Platonist）认为在一个“理想王国”中，这些公理是具象存在的，而人类拥有超越五官的对这些公理的感知能力。而经验主义者们（empiricists）认为这些公理是对现实规律的抽象总结，公理依附于现实而存在，而不是另外一种具象的本质。当然对于两者关系的讨论已经开始脱离数学而走向形而上学（metaphysics）了，这个问题可能已经游走在人类的理性边界之外。当然，人类能否判断《一个问题是否超出了人类理性的边界》本身也是一个有趣的问题。换一句话说，《一个问题是否超出人类理性的边界之外》这个问题是否超出了人类理性的边界？有机会我们再聊这个话题。（你可能需要读一些维特根斯坦的著作）

关于数学还有很多问题。它的地基如此简单，为什么构建起的高楼却如此复杂？如果数学是由逻辑性的公理构造的话，为什么它与现实世界又如此的契合？数学是上帝的语言吗，它的永恒性来自于哪？

一代一代的数学家都在探索这些问题，这些探索让我们走出原始形态，帮助我们发展理性，给我们来带来了科学，带来了汽车，手机，计算机，摩天大厦和航空飞船。

“我们所做的事可能是渺小的，但它具有某些永恒的性质。” ---- G. H. Hardy

拓展阅读：

《Principles of mathematical analysis》 -- Rudin

《Mathematics: form and function》 -- Saunders Mac Lane