「直觀」在證明中有地位嗎?:讀《機運之謎:數學家Mark Kac的自傳》

傅元罄
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我借用Kac一句精彩簡潔的話,來作為本文結論:「在數學中,邏輯是一種牢固的制約,只能提供『不可避免性』的結論,但是『驚奇』的要素必須來自邏輯的外部,透過想像力與洞察得到。」

  在Mark Kac的自傳最後,他提出了一個很有意思的說法,叫作「相對性的公理化」[1]。我認為這個詞語說得很好,能夠讓我們把「形式思考」的不同方式區分的更清楚。

  在19-20世紀建立的新邏輯系統,以羅素和懷海德合著的《數學原理》為代表,試圖把所有的數學/邏輯學定理還原為一組可用符號表示的邏輯公理。這樣做的目的,是為了讓我們在數學和邏輯應用中所做的推論,能夠有穩固的、非正確不可的基礎。

  我們這裡不討論前述「邏輯主義」的嘗試能不能成功,而是想討論另一個問題:傳統的邏輯和幾何學,一樣也是基於形式化、公理化的方式來進行推論;那麼,20世紀的「公理化數學」(即Kac用引號括起來的「新數學」),和傳統的數學/邏輯學有什麼差異呢?

  我們先來看看它們相同的地方。不論是一般數學或公理化數學,都是由「公理」、「定理」和「證明(過程)」三個要素組成。「公理(或公設)」是在一個系統內顯而易見、或邏輯上不可能有相反情況的基本事實;並且,如果有一個事實在這個系統內是可證明的,那就是說我們應當可以以公理為前提,用合乎邏輯規則的論證,將這個事實推導出來。而這樣可證明的事實就稱為「定理」。也就是說,總體來看,這種「公理—證明—定理」的三層結構,是一般數學和公理化數學相同的地方。

  那麼,它們不同的地方,首先便會出在「公理」這個最基礎的環節上。讓我們來看看研究傳統邏輯的哲學家怎麼說。羅光在《士林哲學——理論篇》裡,這樣解釋在士林哲學的版本中,詞項邏輯系統「公理必由經驗而來」的定理。羅光說:

推論所用的最基本原理,是由歸納而得的。因為不然,這些最基本的原理便該是天生的了。然而,人所有的觀念,沒有天生的,都是由人的經驗而得的。因此,推論用的基本原理所有的觀念,是由感覺的經驗以構成的。不過,這些觀念的互相接合,理智則一望而知,用不著另找理由去證明,假使不是這樣,一項理由追求另一項理由,便沒有止境了,因此,最基本的原理,該當是不用證明,就明白的原理。[2]

數學上的公理,定理,公法,由歸納而成。我們在上面已經說過,不得證明的原理,是由經驗而得;因為理智在具體的事例上,透視出共通的公理。[3]

根據前面的這些敘述,一般數學和詞項邏輯的「公理」是建諸於經驗之上,而不是建諸於邏輯之上。但是,公理化數學的「公理」則只是一組用符號組成的邏輯式;這些公理之所以為真,只是因為我們(人類)規定符號是這樣運用的,而不是因為公理對應到任何事實。

  從這個角度來看,一般數學和公理化數學的不同就很明瞭了;一般數學的公理,仍然建立在經驗之上,或用一個康德式的術語,是建立在「直觀」之上。而「公理」是整棟數學/邏輯學大廈的根基;那麼,整個一般數學,便都是建築在「直觀」之上。這就無怪乎哲學家尤格拉(Palle Yourgrau)把一般數學稱為「直觀數學」[4](intuitive arithmetic)。

  從這裡再回來看Kac對一般幾何學和「新數學」之間不同的觀察,尤其可見出Kac令人驚喜的洞識。Kac說:

當你學習初等幾何學時,很可能是在「新數學」嚴格公理化猖狂起來之前,所遇到的是那種舊式的幾何。它處理幾何採用的方法,一部分是直觀的,一部分是嚴格的——不妨叫做相對性的公理化。你探討的是點、直線、三角形、直角、全等、相似以及所有的種種事物。但你曾經有過,無法真正了解什麼是點或什麼是直線嗎?

[5]換言之,在一般數學,雖然我們從「公理」推論出「定理」,但是公理和定理都基於我們的「直觀」(即我們的經驗)。所以,Kac把這種不排拒直觀的公理系統稱為「相對性的公理化」。或者我們借用這個說法,也可以把不排拒直觀的形式系統(如亞里斯多德式的邏輯)稱為「相對性的形式化」。這算是解決了我個人在理解邏輯學時,很難清楚的理解「形式化」的意思究竟是什麼的問題。

  最後,再讓我們看看Kac對於數學積極的主張。他主張:「數學」是直觀(他稱之為「想像力與洞察」)和邏輯必然性之間互相增益、共同促進的內容,而不能割捨其中的任何一面。我借用他一句精彩簡潔的話,來作為本文結論。Kac說:

在數學中,邏輯是一種牢固的制約,只能提供「不可避免性」的結論,但是「驚奇」的要素必須來自邏輯的外部,透過想像力與洞察得到。[6]

註解:

[1]Mark Kac著,蔡聰明譯:《機運之謎:數學家Mark Kac的自傳》(臺北:三民書局股份有限公司,2013年),頁229。

[2]羅光:《士林哲學——理論篇》,《羅光全書.冊20》(臺北:臺灣學生書局,1996年),頁136。

[3]羅光:《士林哲學——理論篇》,《羅光全書.冊20》,頁139。

[4]帕利.尤格拉(Palle Yourgrau)著,尤斯德、馬自恆譯:《沒有時間的世界——愛因斯坦與數學大師哥德爾》(臺北:商周出版.城邦文化事業股份有限公司,2006年),頁96。

[5]Mark Kac著,蔡聰明譯:《機運之謎:數學家Mark Kac的自傳》,頁229。

[6]Mark Kac著,蔡聰明譯:《機運之謎:數學家Mark Kac的自傳》,頁231。

2024/05/26

CC BY-NC-ND 4.0

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