在紐約確診，台北誤診

四月份的時候，住在紐約的大衛測試新冠病毒得到確診的結果，同期間另一個住在台北的大衛也得到確診的結果。兩個人都沒有出現症狀，但都被納入當地確診人口的統計數字。

但是我可以告訴你，即使在已經確診的情況下，紐約的大衛其實真的有被病毒感染的機率只有 93%，而台北的大衛真的有被感染的機率更低，只有 29%。

為什麼呢？第一，所有的測試本身都是有誤差的，比如說，真的有病卻未被偵測到，這叫做假陰性（false negative）；而其實沒病卻被測出有病，這叫做假陽性（false positive）。關於測試的準確性，在醫學上或是統計學上，至少可以分為兩種：

（1）敏銳性（sensitivity）指的是在真的有病的人當中能夠正確測出陽性（true positive）的比例

（2）明確性（specificity）指的是在真的無病的人當中能夠正確測出陰性（true negative）的比例

任何一種統計的誤差若能壓低到5％，其結論就具有非常有效性。所以不管是敏銳性或明確性，若能達到95％，就算是很了不起了。目前以新冠病毒的測試來說，實驗室裡用RT-PCR的測式結果是最準確的，也最昂貴，但其敏銳性落差很大，從  70% 到97%不等；唾液測試是 72％，鼻腔抹拭63％，喉嚨抹拭則只有32％。

第二，大部份人在做類似的認知判斷時，常常犯一種忽略環境因素的基準比例的毛病，只用既得數字而草率地推論出比實際情況嚴重的結論。這是所謂的「忽略基準比例的謬誤」（base rate neglect fallacy），這無論在機率學或認知心理學的領域，都是很有名的一種常見的錯誤判斷行為模式。

所有測試結果的解讀牽涉的都是機率問題，而在做此機率判斷之前，必須先根據之前已得的數據來建立統計模型。這過程中，採樣及數據的讀取方法都會影響最後的判讀結果。因為我們的測試結果是把個人數據放進一個經過採樣的模型，在做解讀時必須將這一步納進考量，才能獲得真正更準確的機率做為結論。

以新冠病毒為例，先讓我們假設其測試非常精準，誤診（false positive） 的機率只有 5％。所以當大衛（不管是紐約的大衛還是台北的大衛），被確診之後，一般人會認為這就表示 95% 的機率他的確是被感染了。但我卻告訴你，他真正被感染的機率其實低於 95％。

讓我們先以紐約為例。假設紐約這個疫區的感染率是 40％，也就是說，每1000個人當中有400個人會被感染，這一步的數字來自之前經過採樣而得到的模型。如果我們假設測試非常嚴格，其敏銳性高達100％（也就是說真的有病的人都不會被漏掉），但有5 ％的 false positive rate （也就是每100個無病的人當中有五個人會被誤診為有病）。我們可以用以下的表格及簡單的數字來表示：

對於被確診的紐約大衛來說，現在已知的是他是430人當中的一個。此時當我們要再更進一步來瞭解他真正被感染的機率，看他是否屬於真正有病的那400人之一。 也就是說，在已得知確診的情況底下，他真正有感染的機率是：400 /430 ＝ 93％。

那麼同樣被確診，對於台北大的衛為什麼會有不一樣的解讀呢？原因是台北的感染率很低，也就是環境不同，所套用的模型不同，基準比例（base rate）不同。同樣的表格，若我們把感染率改為 2％，

對於被確診的台北大衛來說，現在已知的是他是69人當中的一個。此時當我們要再更進一步來瞭解他真正被感染的機率，看他是否屬於真正有病的那20人之一。也就是說，在已得知確診的情況底下，他真正有感染的機率是：20 /69 ＝ 29％。

比較以上兩個例子，我們可以發現，在不同的狀況或地區，因為套用的模型（基準比例）不同，即使測試結果一樣，但在做機率判斷時卻會有不同的解讀。紐約的 40％及台北的 2％，就是所謂的「基準比例」。一般人卻會直接忽略這個部份，單單只看最後的測式結果。

在這個例子我們還假設敏銳性為100％，而這在真實生活裡是不可能的。隨著敏銳性的降低，真正有染病的機率還會再更低。以下是以台北為例，當測試敏銳性只有80％的時候，即使被測出陽性，台北大衛真正染病的機率只有 24.6%。

以上的機率解讀的例子所套用的感染率（基準比例）是假設在全部人口裡隨機採樣，但如果今天會去接受測試的人不是隨機的，而是有經過特殊挑選（例如已經有症狀的），那麼因著採樣範本的不同，基準比例就會不同，所以最後判讀也將會有所不同。

正因為統計本身有許多可調整的參數，差之毫釐，失之千里。因此若如果沒有搞清楚數字的來源及採樣的方法，隨便拿一個報告數字來當作真理，就很容易自己嚇自己。這是人們日常生活裡常犯的一種謬誤。