因明｜大話題：邏輯

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大話題：邏輯

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歸謬法

萊布尼茲最常用的證明方法是一個極為重要的邏輯工具，深受後世邏輯學家和哲學家喜愛。他稱呼這個方法為歸謬法。

使用歸謬法時，我們先假設要檢驗的那個陳述句為真，再看它能導出哪些結論。

如果導出的結論互相矛盾，我們就知道那個陳述句是假的，因為矛盾永遠為假。

歸謬法有一大好處，那就是即使我們不知道如何證明，也能判斷一個陳述句的真假；只要證明這個陳述句的否定會導出矛盾，就知道它是真的了。

有些人不喜歡我發明的這個妙方法，因為這個方法假定所有句子都非真即假，卻沒有提出證明。

和證明理論的關聯

現代邏輯可以分成三個相關領域，分別是數理邏輯、符號邏輯和哲學邏輯。

• 數理邏輯延續了統合數學與集合論的計畫。致力於此的數學家希望找出不同數學領域的共同性質。統一所有分支。

• 符號邏輯純粹研究符號處理。這些符號是抽象實體，無須對應任何事物。彼此之間的互動則由定義表達。

• 哲學邏輯嘗試將邏輯應用於真實概念上；其研究對象並非純粹的符號，而是真實概念（如或然率和信念）之間的互動。

這三種邏輯的共同特色就是它們都倚賴證明理論，讓我們得以判斷某個陳述句是否自另一個陳述句推導而來。

悖論的問題

在所有古希臘悖論中，最有名的可能算是所謂的「說謊者論」。這個悖論簡單來說就是以下這句話：「這句話是假的。」

這句話的問題在於如果它為真，那它就為假；但如果它為假，那它就必然為真。不論我們認為這句話是真是假，都會導出矛盾。這就是惡名昭彰的自我指涉悖論，名稱的由來是因為這類句子談論的對象就是它自己。

塔斯基的解決方法

塔斯基認為他區別「受檢視」的語言和「後設語言」就能徹底解決說謊者悖論，因為「為真」和「為假」都是後設語言的述詞。

當說謊者說「這句話是假的」，他其實誤用了「為假」這個述詞，將它看成事物語言的一部分，但「為假」只能用在後設語言。

趕不走的悖論

說謊者悖論讓羅素窮於應付，「下一句話是假的，上一句話是真的」這類的悖論則是讓塔斯基傷透腦筋，因為這句話似乎既屬於後設語言，又屬於後設語言的後設語言。

說謊者悖論始終是個無解的難題，不停折磨著哲學家和邏輯學家，儘管每隔一陣子就有人提出新的解決方法，卻不時又在其他脈絡裡浮現。

哥德爾不完備定理

在當代所有自我指涉悖論中，最具影響力的當屬哥德爾的第二不完備定理。這個定理於1931年首度發表，雖然背後的概念並不特別難，卻幾乎沒人看得懂，而它帶來的結果大大影響了科學、數學與哲學。

芝諾的運動悖論

最有名的非自我指涉悖論也是芝諾發明的。他想證明運動不可能，我們所見到的運動都是感官在欺騙我們。對於這個古怪的主張，芝諾提出的主要論證是歸謬法，也就是倘若運動存在，將會導出矛盾。

多少才算一堆？

另一個著名的非自我指涉悖論是堆垛悖論。古希臘斯多噶學派常用它證明理性的缺陷。這個悖論之所以出現，是因為我們語言裡有些詞彙模稜兩可，例如堆與垛。有些時候，我們沒有明確規則說明如何正確使用這些詞彙。

堆垛悖論利用的漏洞是我們沒有規則判定多少沙子才算一堆。這確實是個悖論，因為每個邏輯步驟我們都接受其為真，最後卻導出了矛盾：一粒沙子既是一堆沙，又不是一堆沙。

對集合構成挑戰

堆垛悖論不只適用於沙堆，幾乎所有能微幅改變的事物都可能被波及。1979年一位名叫盎格的哲學家發表了一篇論文，題目是〈我不存在〉。他在論文中對自己進行堆垛悖論，一次去掉身上一個細胞。堆垛悖論對形式邏輯無效，因為形式邏輯只操作符號。但只要我們替符號加上意義，這個悖論就變得非常重要，因為許多日常用詞，例如很少、很多、大和小等等，以及顏色及聲音詞彙，都可能產生堆垛悖論。

動搖邏輯的根基

堆垛悖論挑戰了同一律因為它似乎會導出既是一堆沙、又不是一堆沙的結果，也因此挑戰了非矛盾律。不難想見當代許多哲學家和邏輯學家都對這個結果深感不安。

不少學者嘗試解決這個難題，他們提出的看法大致可以分成三類。有些學者認為問題出在將含混的概念套用在現實裡，有些認為含混只是表象，少數人認為最好的做法就是擺脫命題邏輯和述詞邏輯的限制。弗雷格認為，邏輯論證不該含有含混的語詞。在他看來，邏輯應該如科學般精確，含混的語詞只是便於日常談話用的虛構物。

邏輯能擺脫悖論嗎？

邏輯的發展始終擺脫不掉悖論的糾纏，甚至可以說是兩個陣營的對抗：一方忙著建構系統，另一方專注於打造悖論。系統建構者尋求分析概念的精確方法，希望運用邏輯以清楚精確的方式導出所有為真的陳述句；而好的悖論則是挑戰這一點，讓我們對人分辨與推導真假語句及清楚定義概念的能力產生懷疑。

現代邏輯系統雖然有許多精巧的工具，卻幾乎和古希臘邏輯系統一樣備受悖論考驗。

述詞運算本身不受悖論困擾，但只要拿它來回答關於世界的問題，就會遇到麻煩。

由於述詞運算面臨這種種限制，因此遲早會有邏輯學家捨棄這套系統另覓他途。模糊邏輯便是這些「非古典」邏輯系統裡的一支。

惡魔論證

我邏輯上能證明666這個序列一定會出現在任何無理數（如π）的擴張裡。因為若主張666不在裡面，就代表666不出現在π的小數點後數字的任何地方，但這一點在數學上是無法證明的。就算世界上所有白紙都寫滿π小數點後數字，還是有無限多的數字沒檢查到。

然而，若「π的小數點後數字不包含666」這句陳述為假，那麼根據排中律，666這個序列就必然在π的小數點後數字的某處。

我們不可能接受這個魔鬼論證。因此，我的結論是排中律不適用於數學中的無限集合與序列。

直覺邏輯

雖然布勞威爾只想證明有些數學證明的方式和邏輯證明不同，但有些人發現他的論證也能用來證明某些數學領域的邏輯和其他數學領域不同，甚至有些人還據以建構出一套邏輯系統，並嘗試證明這套邏輯適用於所有數學領域。這套系統就叫「直覺邏輯」。

直覺邏輯的要點就在於必須有明確方法檢驗¬¬p是否為真，才能納入¬¬p=p這條規則。

直覺主義對歸謬法

直覺邏輯有一個關鍵特點，就是不能用萊布尼茲的歸謬法。歸謬法是先假設某個數學陳述的否定為真，然後導出矛盾，進而證明該陳述為真。但要從「某事的否定為假」推導出「某事為真」就得仰賴排中律，因此在某些數學領域裡，歸謬法並不符合數學應該運作的方式，也就是從公理推導出數學語句。

烏鴉悖論

律則演繹法後來由維也納學圈的韓培爾加以改良。他主張科學是為了找出建立於因果關係之上的通則，這些通則可以解釋所有可觀察的經驗現象，並且只解釋這些現象。但他很快就察覺到這個模型的問題。

相信我，所有烏鴉都是黑的！證明如下：

1. 所有烏鴉都是黑的，這表示所有不是黑的東西都不是烏鴉。

2. 你看我的鞋。我的鞋不是黑的，也不是烏鴉。

3. 因此，我的鞋印證了「所有烏鴉都是黑的」這個通則。

這不是邏輯本身的問題，而是邏輯造成的問題。

理論上，我們可以檢視宇宙裡所有不是黑的東西，看它們是否都不是烏鴉，以此證明所有烏鴉都是黑的。但這顯然不適合當作科學方法，因為一雙白鞋也可以認證「所有烏鴉都是黑的」這個定律為真，效力和一隻黑烏鴉相同。問題出在關聯性：就算我們知道所有網球鞋都是白的，也看不出這點和烏鴉的顏色有關。

維根斯坦改變看法

邏輯似乎和我們的生活密不可分，但不是所有人都認為邏輯如此重要。維根斯坦在他思想後期就拋棄了這樣的想法，不再如年輕時那麼看重邏輯。他曾經和圖靈有過一場知名的談話，強調實踐後果比理論考量更重要。他對邏輯所扮演角色的懷疑，帶來了哲學觀點的轉變。

假設有人認為他找到了「人生問題」的解答……那他只要想到人在找到「解答」之前還是有辦法活著，就可以否定這個解答了……

邏輯遇到的狀況就是如此。假設邏輯問題真有「解答」，那我們必須提醒自己，在它們還沒解決之前，人還是有辦法活著和思考。

📝學習心得

這本書圖文並茂，很適合初學者閱讀。

中觀的學習必然會牽涉到邏輯，佛法稱為因明學。而邏輯學中的悖論是想學習因明學很好的反思觀點，例如：

• 中觀自續派的「緣起」：依著支分而形成的法。

整體與支分會遇上「堆垛悖論」，例如少了一根手指還能稱作手，那只剩手掌時能稱作手嗎？堆垛悖論不只適用於沙堆，幾乎所有能微幅改變的事物都可能被波及。這點也延伸至無常、時間軸、續流等剎那剎那微幅改變的狀態，例如苗與芽的界定等，都會遇上堆垛悖論。

• 如果「空」不是空的，那麼，這表示世間有真實不空的東西存在，可見並不是一切事物都是空的；因此，「一切事物都是空的」這一語句是錯的。

《迴諍論》中，正理學派針對龍樹的「一切皆空」論，提出了他們兩難式的質疑，這之中也看得出「說謊者悖論」，有後設語言存在的語句，就有可能會遇上此悖論，例如有人說中觀應成只破不立，而有人反駁「只破不立」就是其所立。

歸謬法的非真即假，在攝類學中也會有「瓶與非瓶」、正相違等，書中寫道「有些人不喜歡我發明的這個妙方法，因為這個方法假定所有句子都非真即假，卻沒有提出證明。」在攝類學之中也同樣有相同的疑問。

另外，從邏輯概念，類推至真實層面或語境層面時，也會遭遇許多問題。離一異似乎預設了任何法與法之間，不是一就是異，沒有第三種可能性（依蘊假立是第三種可能嗎？），或許看完此書會有不同的想法。