Risk Parity 和全天候基金

為什麼大家會注意「資產配置」? 我猜很多人和我一樣，想花時間充實生活和提升自己，因此採用宏觀的投資角度，希望資產隨時間成長。投資者計畫、投入、等待、收穫，優雅而愜意。

本質上，我們把資金丟到市場上承擔風險，以獲得長期的報酬。因此，當人們在說資產配置時，意思是拿捏各類資產的比例，以調配出理想的風險和回報。不過，我覺得「預期風險」本身是件好笑的事，如果我都能準確掌握了，它還能叫風險嗎? 真正傷人的，不是學界或業界定義的「波動」，而是預料之外的虧損。所以，如果該發生的都會發生，那麼製造危險的不是金融工具，而是人類自己的思想缺陷，Dalio也這麼覺得。

1. 1971森林體系瓦解的時候，Ray Dalio正看著電視。他心想，既然紙幣和黃金脫鉤了，也就失去原本的價值。隔天早上Dalio走進紐交所，滿心期待股市暴跌，但當天的道瓊指數卻大漲4%，而黃金衝得更高。從此他受到很大的啟發，也開始意識到，投資人無法準確理解經濟事件對投資組合的影響，而且經驗往往無法帶來正確答案，哪怕是職業玩家。更重要的，Dalio也在試圖建構一種策略，能夠適應所有的經濟環境，而不需依賴投資者的主觀判斷。

換句話說，Dalio希望策略穩定獲利，而且讓投資者能安心睡覺。全天候基金的精神，就是針對不同經濟背景擬定策略，然後將「風險」平均配置到這些情境中。因此，與其說Dalio在配置資產，不如說他配置風險到不同資產。

我從Dalio的橋水基金公司擷取這個風險象限，讀者也可以看英文原版。

我們可以把市場環境用「經濟升降」和「通膨增減」來劃分，這個概念和「美林時鐘」有異曲同工之妙，只不過切割方法不同。因此，象限之下就有通膨、通縮、經濟成長和經濟萎縮等四個狀況，而Dalio也把相應資產放進這個框架。

定性來看，全天候的概念很好複製。除了橋水外，黑石、AQR和PanAgora(磐安)也有全天候基金，而各位同樣可以配置自己的全天候策略。不過，觀眾看到這裡，應該知道我喜歡定量解釋策略背後的原理，所以何不拿起計算機繼續看下去?

2. 既然要把風險平均配置，我們就應該清楚如何實踐，而不是憑感覺。

通常股票的波動性比債券還大，因此傳統股債6/4配置，會把大部分風險集中在股票上，這是某些投資人不樂見的。另外，雖然Dalio的全天候基金，將風險平均分散，但「風險均衡」(risk parity)這個名詞，直到2005年才被提出。

錢恩平博士(Edward Qian, CFA)，在磐安資管工作時發表了一篇Risk Parity Portfolios，從此大家都沿用這種說法。Qian也寫了一本Risk Parity Fundamentals，詳細描述了風險均衡(風險平價)理論發展的歷史，也有中譯版，如果你覺得我說得不清楚，也可以去找原書來看。(錢的另一本Quantitative Equity Portfolio Management也是我推薦的書，讀者有興趣不妨試閱。)

想要體會風險的「不均衡」，我們直接拿傳統股債結合開刀吧。

ρ: 相關係數

假設股票波動率是2.5%，債券0.5%，相關係數是0.3，那麼6/4組合波動是 (0.6×2.5)²+(0.4×0.5)²+2×2.5×0.5×0.6×0.4×0.3=2.4316%. 其中關於協方差部分，股債「各占一半」，因此股票貢獻的波動率是 (0.6×2.5)²+1×2.5×0.5×0.6×0.4×0.3=2.34%，債券部分是(0.4×0.5)²+1×2.5×0.5×0.6×0.4×0.3=0.13%。換句話說，股票和債券對於波動率的占比是94.7%和5.3%，差距懸殊。

如果按照風險均衡的思路，我們應該多配一點低波動資產(例如債券)，這樣才能讓各類資產的風險貢獻相當，或至少在我們的預期範圍內。

3. 簡單說，風險平價策略，有兩個特點。

第一，直接放棄預期收益，只從風險出發。第二，較少最優化步驟，因此計算容易一些。我們回頭看看幾十年前Markowitz的MVO，同時考量風險和報酬，並在約束條件下最優化。後來有Black Litterman等人，試著透過合理化預期報酬，來修正MVO對參數敏感的缺點。而隨著理論演進，Risk Parity選擇對預期收益投降，它只注重風險本身。

也就是說，在風險均衡的世界，投資者應該將風險多元分散，而不是只考慮資產的特性，這才是「把雞蛋放在不同的籃子裡」。另外，透過組合波動的算式，我們可以看出，由於風險貢獻包含了相關係數，因此當兩個資產高度相關時，它們會被模型當作類似的風險來源，我們也可以受益於這類「解釋性」。

有些投資者會發現，風險均衡策略傾向於配置多一點低波動資產，但低波動通常也意味著低收益，所以組合收益往往會比傳統配置還低。那怎麼辦? 上槓桿啊。

圖中的雙曲線，我應該不用說明了。在傳統MVO的組合下，我們如果要更高收益，就需要往高波動資產靠攏，但也需要承受邊際效用遞減，並不划算。至於Risk Parity那條線，代表風險均衡組合的「縮放」，也就是槓桿。當我們想要達到某個報酬時，只要調整槓桿即可，而且因為是線性增減，我們可以得到比原始MVO(無槓桿)更好的回報。

當然，用加槓桿的Risk Parity，來打敗沒加槓桿的MVO，勝之不武。我用另一種說法解釋，不管我們利用何種優化方法，都希望策略本身的「風險調整收益」高，也就是盡量低風險高報酬。至於原始組合的收益如何，其實沒什麼影響，反正我們都可以利用槓桿解決。既然如此，有些投資者相信，根本不必要將收益當成參數進行優化，因為只要夏普率夠高即可。(Sharpe是評估風險和報酬方式之一。) 所以與其使用對參數敏感的MVO，不如使用讓投資者較有信心的Risk Parity.

4. 想要均衡配置風險，怎麼執行呢?

最簡單的，應該是把風險平均分配，也就是「等風險分布」(ERC, equal risk contribution). 當然，風險有很多種解釋，除了常見的波動外，也有人用VaR(風險價值)和ES(期望損失)等。這裡為了便於理解，我用傳統變異數來解釋。至於偏微分部分，也是形容風險的一種方式，和Euler定理有關，中文是「邊際風險貢獻度」(marginal risk contribution, MRC/MCR).

我們也可以寫成個別資產的權重形式。

既然現在要「風險等權重」，那我們就要讓 wᵢ(Σw)ᵢ 和 wⱼ(Σw)ⱼ 一樣，其中Σ是協方差矩陣，這個形狀大家應該在Markowitz的理論中看過。接著，我們把目光放到求數值解，並加上一些約束條件。

現在，只要用各種演算法「逼近」數值解，我們就可以知道資產的對應比例。

5. 作為對比，我們來看看風險平價(如ERC)的好兄弟。

由於ERC的波動包含了wᵀΣw，這不禁讓我們想起老大哥MVO。事實上，它們還真的有血緣關係。

先回憶一下MVO的形狀。

再次召喚Lagrange，這邊只考慮一個約束和對應的λ.

由此我們知道，這些λ和對應的Σw是相等的。換句話說，MVO把Σw均衡化，而大家也別忘了，Σw又是MRC的產物。所以從這個角度來看，MVO和ERC的行為非常相似。

另外，還有一種「最小方差法」(Minimum Variance)，構建原理和MVO, ERC有相似之處。

實務上，這種形狀的問題，可以利用二階錐算法(second order cone)來解，像Matlab就有它的求解程式。

定性來看，如果我們把資產簡單均分(1/N)，那就是不考慮預期收益、共變異數和組合方差；而如果我們使用MVO，就是利用所有參數來最優化。至於ERC, MinVar和類似做法，是在兩者之間的某處找到平衡，因此它們的求解步驟長得很像。這類最優化方法系出同門，而要使用何種分支，端看投資者想要強調的部分。

如同我在介紹衍生性商品時所闡述的，人類的決定比工具還重要。我認為投資人不了解背後原理和配置目標，一昧利用程式把參數最優化，只會求出很精美的垃圾結果，對於實戰沒有幫助。(除非妳是老師，有表演需求。) 大家不妨思考各種優化工具的異同、自己的投資風格和能力以及前人的失敗和突破，才能立足巨人的肩膀。

6. 恭喜各位進入獎勵關卡，妳知道MRC怎麼推出來的嗎?

如果c是常數，而f(c‧x)=c‧f(x)，那麼我們叫它一階齊次方程(homogeneous of degree 1)。我們可以發現，不論是投資組合收益Rₚ、加權預期收益μ還是組合波動σ，都是一階齊次。其中關於σ的矩陣形狀，已經出現過許多次。

注意w'就是wᵀ，代表轉置矩陣。

Euler定理，適用於連續可微一階齊次方程。

現在，假設風險可以用標準差來形容，我們就將兩者合併。

求導用到連鎖律。我們可以看到，透過Euler定理，可以推導出偏微分形式的MRC.

7. 等風險權重的基本形式說完了，不過風險平價還有許多可以探討的地方。

最讓人頭大的，是關於「協方差矩陣Σ」本身。前面提到，在風險平價模型中，可以考慮資產間的相關性而求得權重，畢竟很少有資產彼此完全不相關。然而這個相關性，是原始等風險權重算法的致命傷。舉個例子，如果有兩個資產完全相關，就會因為風險相同，而被分配到一樣的權重，加起等於單一資產的兩倍，但這顯然違背了風險均衡的理念。

另一方面，由於投資人普遍會為風險均衡策略加上槓桿，這就需要考慮到風險調整報酬，例如Sharpe. 那問題來了，我要先ERC再槓桿，還是先槓桿再ERC? 如果我進一步考慮相關係數和Sharpe, 我又需要做什麼調整? 關於槓桿本身，是要保持不變還是動態調整? 而再次提及風險，有人用傳統標準差，有人用VaR，有人用ES，也有人用橢圓分布模型，那麼這些衡量方式會如何影響風險預算?(Risk Budgeting)

考慮到波動率控制，就同時需要知道不同風險預算的差異、風險調整報酬和槓桿，我就看過不少人把ARCH家族拉進來討論。而考慮到預期報酬，雖然在Risk Parity裡面比較少被提到，但如果結合Black Litterman，剛好可以避開對市場完全有效假設的陷阱。

這些問題，或許投資人遲早會遇到，也都有人在研究。因此如果妳看到這裡覺得有趣，不妨也去找相關資料來研究吧。

回頭看看風險均衡的概念和全天候基金，Dalio等基金經理並不完全依靠資產波動來決定權重，而是融合主觀判斷來配置資產。如果各位想要迅速複製出一組「資產每天偷偷長大」的全天候策略，我提供常見的配置比例，各位可以輕鬆使用ETF投資。當然，投資一定有風險，妳抄作業虧錢可以來找我，但我不會負責，而且我會笑妳。

美股大市值 (VTI): 30%
美債長期 (TLT): 40%
美債中期 (IEI): 15%
黃金 (IAU): 7.5%
商品 (PDBC): 7.5%

註: 感覺還有很多沒寫到的，但考慮到篇幅，就把資料出處都放在文末，供各位讀者參考。

本來只想講故事，結果最終還是加入了數字。
我在Markowitz那篇「不小心」把數學推導寫進去，開了罪惡先例，導致後面好像不來點算式都怪怪的:)

開玩笑的，這些理論本來就都有關係。

沒有MVO，哪來CAPM?
MVO要是沒有對收益「過敏」，有人會想發展BL模型嗎?
我從選擇權BS說到槓桿和波動，是為了給風險均衡鋪路。
就如同我提到Bayse機率，是為了方便介紹BL模型。

想來也好笑。
當初，我只是想要介紹一篇論文，提到BL+風險平價+因子配置的擇時，後來一不小心寫成了資產配置系列。
結果現在我反而覺得那篇文章不這麼重要，因為讀者如果都能熟悉工具的用法和背後原理，自己就會打出組合技了。(至少在腦海中)

考慮到系列的推進和脈絡，我決定刪減掉部分內容，包括Barra的介紹。
換句話說，我下一篇很可能出「因子投資」文章，也總算比較接近我的階段目標了。

先預告，目前我的做法是只寫定性討論，盡量不放數學算式，當然具體細節還是要全部寫完才知道。
如果你等不及了，可以先去看一本《因子投資》，我也寫過書評。

關於本文，如果我哪裡寫錯或是說不清楚，歡迎告知。

參考資料:

1. 北京大學數學科學學院 系統化資產配置系列之七: 基於目標波動率的風險平價改進策略
2. 華泰證券 風險平價模型的常見理解誤區剖析
3. 臺灣指數股份有限公司 指數編製方法概論
4. University of Washington, Eric Zivot, Portfolio Risk Budgeting
5. Advances in Portfolio Risk Control: Risk! Parity?
6. The All Weather Story
7. Risk Parity Portfolios: Efficient Portfolios Through True Diversification (PDF)
8. Risk Parity Fundamentals
9. Quantitative Equity Portfolio Management: Modern Techniques and Applications
10. Euler Decomposition
11. On the properties of equally-weighted risk contributions portfolios
12. Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/NPortfolio Strategy?
13. Enhancing Risk Parity by Including Views
14. Are Risk-Parity Managers at Risk Parity?
15. Equal Contributions to Risk and Portfolio Construction (PDF)
16. Introducing Expected Returns into Risk Parity Portfolios A New Framework for Asset Allocation
17. Our Thoughts about Risk Parity and All Weather
18. Risk Parity and Beyond - From Asset Allocation to Risk Allocation Decisions
19. The Properties of Equally Weighted Risk Contribution Portfolios
20. 還我兩顆地球
21. Black Litterman 資產配置的好武器
22. Markowitz和效率前緣
23. 狂徒書評 〈因子投資〉 金融界的分子料理(Vocus)