兩道數學考題，看似簡單卻是難。歡迎來挑戰

讀了二本書，都提到一道數學題，先考考大家：

某癌症檢驗的準確率為90％，而依統計資料顯示，台灣五十至六十歲男性約有千分之一罹患此種癌症，今有一名五十五歲之台灣男性至醫院進行此項檢驗（檢驗過程並無錯誤），為陽性反應。問：該名男性真的罹患該癌症之機率為何？

據書中所說，能答對這題的人相當少。曾經對英國一羣醫生加以類似的測試，結果答對率遠低於一成。

在往下看之前，請先動腦、動筆想一想答案吧！（我承認，我在第一時間也是答錯的。）

。

。

。

。

。

。

。

上題的答案是約0.89％。

不要懷疑，在題設條件下，你在醫院接受了一項準確率高達百分之九十的癌症篩檢，就算是陽性反應，你真正得到癌症的機率還不到百分之一。

算法如下：

1. 以一萬名50-60歲的台灣男性為例，依統計數據，約有千分之一即10人罹患此種癌症，另9990人沒有罹患此種癌症。

2. 此癌症篩檢的準確率是90％。因此上述10個罹癌的人中，有9個會驗出陽性反應，1個會驗成陰性反應（偽陰性）。另9990個沒有罹癌的人中，有8991人會驗出陰性反應，另999人會驗出陽性反應（偽陽性）。

3. 承上，驗出陽性反應的人總共有9+999＝1008人，其中9個是真的罹癌的，另999個是沒有罹癌的（偽陽性）。

4. 因此一個被檢驗出陽性反應的患者，其真正罹癌的比率是9/1008＝0.0089＝0.89％。

（解答結束）

現實世界中，罹癌人口雖然不少，但和總人數相比，比例相當低，往往不到千分之一。因此，在現實世界中，如果到醫院接受癌症檢驗，醫生告訴你是陽性反應，而這個檢驗的準確性是百分之九十時，你大可不必覺得這是世界末日，因為你真正罹癌的機率其實還不到百分之一。

如果這題你答錯了，我建議您可以找《如何用數字唬人：用常識看穿無所不在的數字陷阱》這本書來看看。相當有幫助！

如果你答對了，請再接受下一題測驗：

你參加某一個益智節目獲得了勝利，可以玩猜猜大獎在那一道門後面的遊戲。總共有A、B、C三道門，你選了A這道門，這時候，主持人打開了B這道門，顯示後面沒有大獎，並給你一個機會，問你是否要更換為C這道門。請問，以追求數學上的中獎機率而言（別說你的幸運符號是A），換或不換才是明智的抉擇，換或不換的中獎機率是多少？或者，兩者的機率根本是一樣的？

這一題能答對的人更少。非常非常非常的少。很多人就算看到了解答也還是不懂。

在往下看之前，請先動腦動筆想一想答案吧！（我承認，我在第一時間也是答錯的。）

。

。

。

。

。

答案是「要換」。換成C的中獎機率是2／3，堅持A的中獎機率是1／3，因此你換門的結果，使中獎機率提高了二倍。

我知道，很多人無法接受這個答案。當年，連數學系的知名教授都不能接受這個答案。

解答大致如下：

（我不確定讀者是否看得懂，因為我曾經費盡唇舌解釋，就是有人聽不懂，還說我亂扯、書亂寫。）

1. 一開始有A、B、C三道門，你不論選A或B或C，你中獎的機率都是1／3。

2. 而你選了A，換言之，大獎在A門後面的機率是1／3，在B門或C門後面的機率是2／3（即1／3+1／3＝2／3）。

3. 主持人打開了B門，大獎不在B門後面。請注意，這並不是一個隨機的事件，因為主持人他已經知道B門的後面並沒有大獎，所以才打開他。不是隨機的事件，就不能用機率來處理。

4. 此時你如果堅持選A門，那你得獎的機率始終是三分之一。如果你選擇了C門，那麼因為主持人介入的關係，你的得獎機率將是B+C的三分之二。

5. 結論：你要換，才能提高中獎的機率。

我相信，看完了解答，還是有人不相信這個結論。因為這好像違反了人類的直覺。

不過，如果把題目極端化一些，也許就可以比較清楚。

設若此題有一千道門，其中有一道門後面有大獎，你選了其中一道門，中獎機率是千分之一，大獎在另九九九道門後的機率是千分之九九九，今天，主持人在那九九九道門中打開了其中九九八道，只剩下其中一道，問你換不換？

我想，依人類的直覺，應該也會換了吧！

如果你答錯了，建議看看這本《醉漢走路 - 機率如何左右你我的命運和機會》。

如果你之前並沒有接觸過這兩個問題，第一次在本文看到，居然就答對了，我只能說你太強，智商可比唐鳯。小弟在此膜拜頂禮！

茲為記。