干掉那个该死的说谎者

今天打算写一下关于数理逻辑的内容

考虑一下接下来这个句子。 （例子1）

（1）     句子（1）说的是谎话

这句简单的句子，就概括了所谓的“说谎者悖论”，如果句子（1）是真话，那么句子（1）描述的内容就真实，那么句子（1）说的是谎话，矛盾。

而如果句子（1）是假话，那么“句子（1）说的是谎话”这个内容是不真实的，那么句子（1）说的是真话。

由此可见，无论怎么假设，都会陷入矛盾。

说谎者悖论在集合论中也有体现，考虑一下这个集合A （例子2）

{A：A是所有不属于它自身的集合组成的集合} ，那么问题来了，A属不属于它自身呢？

假设A∈A 所以A是A中的一个元素，那么A当然具有“不属于它自身”的这个性质，所以A ∉ A 矛盾。

假设 A ∉ A 那么既然A中包括了所有不属于它自身的集合，A又不在A中，那么显然A属于它自身，A∈A，矛盾。

我们不难发现，这些悖论之所以出现，是因为涉及到了自我指涉（self-reference），如果我们规定句子不能自我指涉，是否能将悖论消除呢？答案是不行的。考虑接下来一个例子 （例子3）

（1）     句子（2）说的是假话

（2）     句子（1）说的是真话

假设句子（1）为真话，那么句子（2）说的就是假话了，那么句子（2）的内容“句子（1）说了真话”不为真，那么句子（1）说了假话，矛盾。

假设句子（1）是假话，那么“句子（2）说的是假话”这个内容不为真，那么句子（2）说的就是真话，而句子（2）又说句子（1）说了真话，那么句子（1）说了真话，矛盾。

这个例子里不涉及到自我指涉，但是依然出现了矛盾，由此可见，即使取消自我指涉，依然不能解决悖论。

解决悖论的一个方案是规定语言的层次，我们把描述第n阶句子的真值的句子定义为n+1阶，那么对于例子1，句子（1）描述了自己的真值，所以句子（1）又是n阶又是n+1阶，这当然是不可能的。而对于例子3，如果我们认为句子（2）是n阶的，那么由于句子（1）描述了句子（2）的真值，那么句子（1）是n+1阶的，但是这样，句子（2）本身就没有意义了，因为句子（2）又在描述句子（1）的真值，而低阶句子是不能描述高阶句子的真值的。

同样的处理方案可以用来解决罗素悖论，罗素和怀特海(Whitehead))将一系列基础元素定义为type 0，把这些元素组成的集合定义为type 1，再将这些集合组成的集合定义成type 2，以此类推。罗素悖论在这个集合论体系中也是没有意义的，因为“所有不属于它自身的集合组成的集合”中的元素具有不同的type，因此根本不能被放到同一个集合中去。多想一步的话，可以证明，这个集合论体系中的所有集合都不属于它自身，因为对于任何一个type n+1的集合，它的所有元素都是type n的，而它自身是type n+1的，它当然不属于它自己了。