緯緯道來
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研究所學生,主修資訊工程,熱衷於深度學習與機器學習。初期先以基本的程式教學為主,希望我的文章能夠幫助到你!(https://linktr.ee/johnnyhwu)

條件機率 vs 聯合機率

花十分鐘搞懂「條件機率」與「聯合機率」的差別!

前言 & 概述

在前一篇文章中,我們介紹了機率的基本觀念,包含 表示法 (Notation)、隨機變數 (Random Variable, RV)、三種基本的機率類型與乘法法則 (Multiplication Rule)。其中,三種基本機率類型中的「條件機率」與「聯合機率」經常使初學者分不清楚。因此,在本篇文章中,將會以更簡單的方式說明兩者的差別。此外,我們也會了解機率中「AND」、「OR」的概念。

條件機率 (Conditional Probability)

前一篇文章中,我們介紹過條件機率的定義。「條件機率」(Conditaionl Probability) 指的是某一個事件發生的「前提」之下,另外一個事件發生的機率。例如,A 與 B 是兩個不的事件,在 B 事件發生的前提下,A 事件發生的機率為 P(A | B)。

我們也以撲克牌的例子說明:假設 B = 「抽出紅色的卡牌」,A = 「抽出數字 4 的卡牌」,則 P(A | B) = 2/26 (因為已經先抽出 26 張紅色的卡牌,其中包含兩張數字 4)。

聯合機率 (Joint Probability)

前一篇文章中,我們也介紹過聯合機率的定義。「聯合機率」(Joint Probability) 指的是「兩個或多個」事件同時發生的機率。A 與 B 是兩個不同的事件,A 與 B 同時發生的機率為 P(A  B)。「」符號稱為「交集」,就是指兩個都要的意思。

我們也以撲克牌的例子說明:假設 A =「從一副撲克牌中抽出一張 6」且 B =「從一副撲克牌中抽出一張紅色」,則 P(A  B) = 2/52 (因為一副撲克牌有 52 張,同時是 6 又是紅色的有 2 張)。

條件機率 vs 聯合機率

對於第一次接觸機率概念的初學者而言,條件機率與聯合機率的概念還是稍微難以區分。因此,我們接著更深入的討論兩者的區別。

繼續前面撲克牌的例子,假設我們希望計算「抽出一張紅色卡牌且為數字 4」的機率,此機率就是聯合機率,可以表示為 P(Red and 4) = P(Red ∩ 4)。要計算這一個聯合機率,我們可以想像現在桌面上擺放著 52 張撲克牌,而且這些撲克牌都是「蓋上」的,因此我們不知道每張撲克牌實際的顏色與數字。但是,我們知道這 52 張卡牌中,顏色是紅色且數字為 4 的卡牌有 2 張。因此,P(Red and 4) = 2/52。

另外一種情況,假設我們希望計算「抽出一張數字為 4 的卡牌,且已經知道他是紅色」的機率,此機率就是條件機率,可以表示為 P(4 | Red)。要計算這一個條件機率,我們可以想像桌面上擺放著所有的 52 張撲克牌,但是抽出卡牌之前,我們已經事先將所有紅色的卡牌取出,並且攤開在桌上。又 26 張紅色的卡牌中,包含了 2 張數字 4 的卡牌。因此 P(4 | Red) = 2/26 = 1/13。

此外,我們也可以透過乘法法則 (Multiplication Rule) 計算上述的問題。以聯合機率 P(Red and 4) 為例,P(Red and 4) = P(4 and Red) 會等於 P(4 | Red) × P(Red) = 1/13 × 1/2 = 1/26 = 2/52。

補充:P(Red) = 1/2,因為 52 張撲克牌中有一半是紅色的!

AND vs OR

  • AND
    在前面的例子中,我們解釋了聯合機率與條件機率的差別。然而,我們卻沒有提到該怎麼計算聯合機率 (Joint Probability)。所謂的聯合機率,即是兩個事件「同時」發生的機率。例如,P(A ∩ B) 即是 A 事件與 B 事件同時發生的機率。以乘法法則的角度出發,P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B)。

    我們再以一個生活化的例子說明聯合機率該怎麼算!假設現在我們手中有兩個骰子,A 事件 = 「第一顆骰子為 6」、B 事件 = 「第二顆骰子為 1」。

    根據乘法法則,我們可以先計算 P(A | B) 與 P(B) 而得到 P(A ∩ B)。P(A | B) 指的是在「『第二顆骰子為 1』的前提下,『第一顆骰子為 6』的機率是多少」。聰明的你一定知道,不管第二顆骰子的結果為何,都和第一顆骰子沒有任何關係啊!因此,我們可以說 A 事件與 B 事件互為「獨立事件」。

    當 A 事件與 B 事件互為獨立時,A 事件發生的機率不會受到 B 事件影響,因此 P(A | B) = P(A)。

    再回到乘法法則,我們可以得到 P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/6 × 1/6 = 1/36。
  • OR
    在 AND 時,我們會將所有事件發生的機率「相乘」;在 OR 時,我們會將所有事件發生的機率「相加」。在數學上,會表示為 P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)。

    其中,因為 P(A) + P(B) 時,A 與 B 重疊的部分會重複計算,因此需扣掉一次重疊的部分。

    我們再以一個生活化的例子說明 OR 的概念!假設現在我們手中有兩個骰子,A 事件 = 「第一顆骰子為 6」、B 事件 = 「第二顆骰子為 1」。

    則 P(A  B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36。

結語

在本篇文章中,我們更深入的說明條件機率 (Conditional Probability) 與聯合機率 (Joint Probability) 的差別,也說明機率中 AND 與 OR 有什麼差別。若想學習更多機率的觀念,推薦到 Coursera 上報名葉丙成教授的頑想學概率


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