輕鬆了解zk-SNARK — 第二篇
前言
上一篇 zk-SNARK原理詳解 — 1 中，我大概講了一些零知識證明的概念以及ZCash如何運作的。為什麼使用 ZCash做講解？除了它是一個用零知識證明來處理隱私交易的幣之外，它的文檔對我學習這個知識提供非常多幫助。
另外，我也參考了V神、以及一些大神的文章、論文，整理成一篇我認為大家容易理解的文章（相比於其他文章），希望大家看完後可以跟阿嬤解釋什麼是零知識證明，記得順便帶點靈芝給阿嬤～
抱歉很尬，我們直接開始。
在這篇論文中第 25頁，作者整理出零知識證明的過程中會有哪些運算。
當然，這篇文章不會拿上圖做講解，嚇嚇人而已！接下來正式開始進入講解環節～
這邊很重要
回顧一下 zk-SNARK 的意思，全名為 Zero Knowledge Succinct Non-Interactive Arguments of Knowledge，也就是簡潔的、無交互的零知識證明。
其主體是 Argument of Knowledge(知識證明)，也就是說，最重要的是驗證者所生成的證明，此證明與挑戰者所提出的問題相對應。
其實這個觀念與其他不同的證明法是一樣的，但困難之處在於
- zk(零知識)，具體一點就是 — 在交易中，你必須證明你擁有某種未花費的資產，但是不想暴露資產的來源、去向。
- Succint(簡潔的)，驗證過程中生成的資料大小以及驗證時間都要小於直接暴力運算，因此我們不能讓驗證者每輪都做 hash運算（否則就跟計算量成正比了）。
- Non-Interactive(無交互)，沒有交互是要驗證啥？
關於這些操作是如何完成的，且聽我娓娓道來～
哦對，為了讓大家知道我們進行到哪個步驟了，我用羊皮紙來追蹤我們的進度，夠誠意了吧！
本文中，我們會一直看到這張圖，看到你做夢都記得…
我們先來取得一個共識…
程式在處理的就是將輸入值運算，zk-SNARK作為一種數學證明，若要能用程式處理，就要有可量化的輸入值，而要進行運算之前，必須先為目標問題建立出一個模型（此模型包含上圖中所有的進行動作），有了模型以及輸入值，才能得到想要的結果。
再說得白話一點，我們在選取問題的特定輸入值後，代入我們所建立的 function後，可以得到一個解，在 zk-SNARK中這個解叫做證明，用來證明驗證者的確知道這個解。
有了這個共識後，再來進行下一步。
進行證明前，先轉換為成適當的格式 — QAP
如前一段所述，我們要建立一個模型以進行零知識證明，既然是模型，就要能涵蓋到大部分的傳入值，不能出現有些可以、有些不行的情況，也因為我們明白：
- 並不是任意運算問題都可以進行 zk-SNARK
- NP問題的所有實例都可以在 zk中被證明
第一點其實蠻直觀的，關於第二點，在這則論文中解釋了所有NP問題都有零知識證明。
小百科：一般問題可分成兩類： P問題 和 NP問題 。P問題指的是在多項式時間內可解 的問題。 NP問題（Non-Deterministic Polynomial Problem，非確定性多項式問題），指不能在多項式內可解，但是可以在多項式時間內驗證 的問題。
基於上述兩點，我們應該確保傳入模型執行 zk-SNARK的傳入值是 NP問題，而且是可以在模型中被運算的形式。
在 zk-SNARK中，這個轉換的最終結果是QAP(Quadratic Arithmetic Program)，如何轉換以及轉換的邏輯會在稍後說明，現在只需要先了解下面那張圖就好了
總而言之，我們需要輸入值呈現一個正確的格式來執行後續運算，這個格式在zk-SNARK中就是QAP。我們也因此把zk-SNARK拆成兩個部分。
- 將初始輸入值轉換為QAP
- 進行後續運算
於是現在流程圖長這樣了～
本文主要會講解第一部分 — 轉換為 QAP，第二部分留到之後的文章。
一直說QAP QAP，但它是什麼？又是怎麼轉換的？
QAP轉換過程
我們以V神文章中所提供的範例舉例，這個過程中我們要去證明我們知道 x³+x+5=35 的解，但這個例子可以讓我們理解zk-SNARK的技術原理，同時又不會產生很大的 QAP。
x³+x+5=35如下：
def qeval(x):
y = x**3
return x + y + 5
轉換為QAP的主要目的
稍後我們會進行三個步驟將一個函數轉換成 QAP，QAP是以多項式的形式表示，然而為什麼要費盡心思弄出多項式，其實是為了滿足後續以「抽樣」來實現「簡潔」，但這就是下一篇的內容啦，現在做這個聲明只是先跟讀者說明我們要轉換的原因，現在讓我們繼續跑完流程吧！
過程主要分為三個步驟
1.引入變數
將 x³+x+5轉換成幾個簡單算式，例如 x=y, x=y(op)z這種形式，op(operation) 代表加、減、乘、除，這些簡單算式可以視為數位電路中的邏輯閘，也因此被稱為代數電路(Algebraic Circuit)。
sym_1 = x * x y = sym_1 * x sym_2 = y + x ~out = sym_2 + 5
上式中，sym_1, y, sym_2就是我們所引入的變數，將 x=3, sym_1=9, y=27, sym_2=30, ~out=35代入其中，等式成立。
這種轉換的過程有另一個名詞叫做 flattening(拍平)，拍平後的每一個式子其實都是一個邏輯閘。
2.定義向量
定義向量s=[~one, x, ~out, sym_1, y, sym_2]，其中~one為偽變量，實際上是常數 1，這個偽變量的作用稍後就會看到了。
將每個我們轉換過的簡單算式再轉換為(s⋅a)∗(s⋅b)−(s⋅c)=0，其中 ⋅ 為向量內積運算子，a,b,c為係數向量。
要了解找 s與 a, b, c的原因，就要先了解什麼是 R1CS(Rank-1 Constraint System，一階約束系統) 。
R1CS 是由三向量組 (a,b,c) 組成，R1CS 有個解向量 s，s 必須滿足(s⋅a)∗(s⋅b)−(s⋅c)=0。這裡的解向量 s就是 witness。上例中：
s = [1, 3, 35, 9, 27, 30]
a = [5, 0, 0, 0, 0, 1]
b = [1, 0, 0, 0, 0, 0]
c = [0, 0, 1, 0, 0, 0]
複習一下，上面的動作是在將最後一個邏輯閘(“拍平”後的最後一個式子) 轉換成一個約束（即一個三向量組）。
接下來我們再將剩下三個邏輯閘做相同操作找出各自 a,b,c向量
sym_1 = x * x y = sym_1 * x sym_2 = y + x ~out = sym_2 + 5 我們已經完成這行
將係數向量依順序排列（各行所得到的 a, b, c集合起來），得到A, B, C三矩陣。
至此第二個步驟完成！
第三個步驟，我們要做的是將 R1CS轉換成 QAP形式
補充：
R1CS與 QAP所要實現的邏輯完全相同，兩者的區別在於 QAP使用多項式來代替內積運算。
在介紹這種轉換之前，我們需要複習拉格朗日差值公式，這個公式的作用是建立一個穿過指定點的多項式，相信各位在國高中也都有學過
例如通過點 (1,3), (2,2), (3,4) 的多項式為：
前面提到，第三個步驟的目的是把 R1CS轉換為 QAP，使用的就是拉格朗日差值公式。
這個步驟，比較像是在壓縮矩陣，因此我們的第三個步驟就稱作壓縮矩陣。
3. 壓縮矩陣
現在我們要來將 A, B, C三個矩陣分各自轉換為六組多項式。
概念大概是這樣：
矩陣C → C(n)=[C1(n), C2(n), C3(n), C4(n), C5(n), C6(n)]
每組多項式包括三個三階多項式，我們在每個 x點處來評估不同的約束，在這裡，我們共有四個約束，因此我們分別用多項式在 x = 1, 2, 3, 4 評估這四組向量組。
我們先求出四個約束所對應的每個 a 向量的第一個值的多項式，也就是說，使用拉格朗日插值定理求過點 (1,0), (2,0), (3,0), (4,0) 的多項式，類似的我們可以求出其餘的四個約束所對應的每個向量的第 i 個值的多項式。結果如下：
在得到這些多項式後，計算問題就轉換成求 s (s是解向量，一開始有提到)，使 (s⋅a)∗(s⋅b)−(s⋅c)=0 在 n = 1,2,3,4,5,6 成立，也等價於：
[s⋅A(n)]∗[s⋅B(n)]−[s⋅C(n)]= H(n)*Z(n)，其中Z(n)=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)
至此，我們終於得到一個涵蓋全部的多項式，也就完成第一部分了！
沒想到光第一部分畫圖就畫這麼久，下一篇我們開始講解後續運算。
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參考資料
How Transactions Between Shielded Addresses Work - Electric Coin Company
Introduction to zkSNARKs with Examples
A practical overview of zk-SNARKsmedia.consensys.net
Quadratic Arithmetic Programs: from Zero to Hero
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